01

问题背景

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题目均来源于网络。2024上海中考25题考察了梯形背景下与比例线段、外接圆、平行线的性质定理、基本图形分析法相关的综合性问题，灵活度很高，但是问题解决的方法围绕着教材中常见的基本方法和基本图形，充分考察了学生的综合能力和核心素养。

02

解法分析

本题的第(1)问根据AE:AB=DF:CD，证明EF//BC，本题很容易陷入以下两个误区：误区1，根据AE:AB=DF:CD直接得到EF//BC，根据线段间的比例关系型推出平行必须在三角形的背景下(三角形一边的平行线的判定定理)，而不是梯形背景下；误区2：过点D作AB平行线或过点A作CD平行线，我们采取此种方法是基于如下图所示的问题背景，即满足AD//BE//CF，这样的背景，而非问题(1)的一组平行线的背景，因此此种方法是行不通的。

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本题提供以下两种作法，仅供参考，即通过延长线段的方式构造中间比，从而得以利用三角形一边的平行线的判定定理。解法2亦可以延长AF、BC交于点G。

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本题的第(2)问基于三个背景：外接圆+角平分线+等腰三角形。根据题意先作出△ADE的外接圆的圆心O(三边中垂线的交点)，该圆心恰好落在∠B的平分线上，利用等腰三角形的三线合一+∠B平分线+平行线同旁内角互补可得AO⊥BO，再利用AO=EO，过点O作AE的垂线，两次利用cos∠EAO，解得外接圆的半径。

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本题的第(3)问根据已知条件按图索骥，可以得到以下几个重要线索：根据等积式可得△DCN∽△DCM，根据相似三角形对应角相等以及已知条件中的等角可得EM//CD，以及另一组共边共角型相似三角形△MCN∽△EMC。结合图中的两组平行线(AD//BC以及EM//CD)采取如下图所示的两组方式，通过利用图中的X型或A型平行型基本图形以及解三角形求得CD的长度。本题对于基本图形的应用要求较高，线段间的转化也比较灵活，以下提供两种作法抛砖引玉：

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03

涉及的基本图形和基本方法

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